１２支は、元々方角や年月を表すのに使われていた漢字です。
それを覚えやすいように、動物をそれぞれに当てはめた、と言われています。
子（ね）というのはそもそも孳という字で、ふえるという意味を持っています。
そこに子供が増えていくねずみを当てました。
ねずみ算とかねずみ講とか言うように、ねずみには増えていくという意味があります。
その生命力が縁起が良いとされ、子孫繁栄、家族繁栄すると言われています。
また、ねずみは災害に対する予知能力があると言われていました。
火事などの災害を予知して避難します。
そう信じられていたので、『鼠がいなくなると火事が起きる』『ねずみは火事になりそうな家には住み着かない』という言葉まであったのです。
また、大国主命の命を救ったとされ、七福神の大黒様の使いにもされています。
今でこそあまりねずみが住み着いている家はありませんが、縁起の良い生き物なので、見つけても駆除するのはいささか気が引けてしまいます。
ねずみは家に福をもたらしてくれるのですから。